Siruri

SIRURI

I.  DEFINITIE

Se numeste sir de numere reale o functie definita pe cu valori in , sirul se noteaza ; se numeste termenul de rangul al sirului

Observatii Un sir se poate descrie:

a)         printr-o regula de calcul - exprimare analitica:

b)        prin mai multe reguli de calcul:

c)         printr-o relatie de recurenta: , , ,

II.  DEFINITIE

Spunem ca l (finit sau infinit) este limita sirului si scriem , daca in afara oricarei vecinatati a lui l se afla, cel mult, un numar finit de termeni ai sirului.

Spunem ca sirul este convergent daca are limita finita

III. SIRURI MARGINITE

Se spune ca sirul este marginit superior (majorat) daca exista astfel incat ,

Se spune ca sirul este marginit inferior (minorat) daca exista astfel incat ,

Se spune ca sirul este marginit daca numerele reale astfel incat ,

Sirul este marginit astfel incat ,

Un sir care nu este marginit se numeste nemarginit.

IV. SIRURI MONOTONE

Se numeste sir strict crescator daca: , adica:

Se numeste sir strict descrescator daca: , adica:

Se spune ca sirul este:

a)         crescator daca adica daca

b)        descrescator daca , adica daca

Pentru a stabili monotonia unui sir se calculeaza diferenta a doi termeni consecutivi oarecare sau in cazul in care termenii sunt pozitivi se face catul a doi termeni consecutivi .

V. SIRURI CONVERGENTE

Teorema de convergenta cu : sau ,,

astfel incat , .

Teorema de convergenta cu : Orice subsir al uni sir convergent este de ase-

menea convergent si are aceeasi limita.

Obsevatie Subsirul se numeste sir extras din sirul .

Teorema lui Bolzano-Weierstrass: Din orice sir marginit se poate extrage

un subsir convergent.

Teorema sirului fundamental (sir Cauchy): Un sir se numeste sir

fundamental daca, astfel incat pentru si oarecare.

Observatii

a)         Un sir de numere reale este convergent daca si numai daca este sir Cauchy.

b)        Orice sir monoton si marginit este convergent ( teorema Weierstrass ).

VI. PROPRIETATILE LIMITEI UNUI SIR

Un sir convergent are o singura limita.

Prin adaugarea sau inlaturarea unui numar finit de termeni, un sir convergent

ramane convergent catre aceeasi limita.

VII. CRITERIUL MAJORARII

Teorema Daca , si , atunci

Corolar 1: Daca , si atunci

Corolar 2: Daca , si atunci

Corolar 3: Daca , ( fixat ), atunci

Corolar 4: Daca , fixat ), atunci

VIII. TRECEREA LA LIMITA IN INEGALITATI

Teorema: Daca si sunt siruri convergente si daca , fixat ), atunci

IX. TEOREMA " CLESTELUI "

Fie , , trei siruri satisfacand conditiile:

a)         ,

b)        atunci sirul este convergent si .

X. CRITERIUL RAPORTULUI

Forma cu inegalitati

Fie un sir de numere strict pozitive:

a)         Daca astfel incat , atunci sirul este conver-

gent si .

b)        Daca astfel incat , , atunci sirul este di-

vergent si

Forma la limita

Fie un sir de numere strict pozitive; presupunem ca exista . Atunci:

a)         Daca

b)        Daca

XI. LEMA LUI STOLTZ

Fie , doua siruri de numere reale satisfacand conditiile:

a)         Sirul este strict pozitiv, strict crescator si nemarginit.

b)        Exista . Atunci exista limita raportului si avem:

Consecinte:

a)         Fie un sir de numere reale care are limita. Atunci:

b)        Fie un sir de numere pozitive care are limita. Atunci:

c)         Fie un sir de numere strict pozitive. Daca sirul are

limita, atunci: .

XII. SIRURI TIP

Sirul cu termenul general unde :

Observatie: Nu exista limita daca

Sirul cu functie reala polinomiala: ;

grad; :

Sirul cu functii reale polinomiale:

grad; ; ; grad ; ;

Siruri care au ca limita numarul

Se arata ca:

, daca si , daca

, daca si , daca

a)         ;   b) ;

c)         Suma unei progresii geometrice: daca atunci:

XIII. SIRURI REMARCABILE

Numarul

Sirul cu termenul general este strict crescator si marginit

Se noteaza , si exista inegalitatea

Sirul are ca limita tot numarul ; Avem

Constanta lui Euler

Sirul cu termenul general , este strict descrescator si minorat de zero; limita sa si exista inegalitatea:

Sirul lui Fibonacci

Este definit de recurenta: ,

Termenul general se scrie: si are proprietatea:

Sirul lui Traian Lalescu :

Este definit prin termenul general:

Sirul lui Newton :

Este definit prin recurenta unde si are proprietatea .

XIV. SIRURI RECURENTE

Un sir se numeste sir recurent de ordinul ( dat ), daca este definit de o relatie de forma , cu numere date.

Recurenta liniara de ordinul doi, omogena cu coeficienti, sunt de forma , cu numere date.

Acestei recurente i se asociaza ecuatia caracteristica in

Pentru explicarea termenului se considera cazurile:

a)         solutiile generale

b)       

c)        

Observatii:

Numerele A si B se determina in functie de date.

Pentru o recurenta liniara si neomogena, solutia generala se obtine din solutia

generala a recurentei omogene atasate, la care se adauga o solutie particulara a celei neomogene.

Relatii liniare de recurenta (ordinul intai): unde se determina

folosind algoritmul de adunare al termenilor.

XV. OPERATII CU SIRURI CONVERGENTE

Fie doua siruri. Daca , , atunci:

a)         este convergent si ( limita sumei

este egala cu suma limitelor )

b)        este convergent si (o constanta iese in fata

limitei )

c)         este convergent si (limita produ-

sului este egala cu produsul limitelor ).

d)        este convergent si ( limita catului

este egala cu catul limitelor )

e)         este convergent si ( limita modulului este egala cu mo-

dulul limitei )

XVI. TEOREMA DE CONVERGENTA

Orice sir monoton crescator si marginit superior de numere reale ( in ) este

convergent.

Orice sir monoton descrescator si marginit inferior in este convergent.

XVII. ALTE OPERATII CU SIRURI CONVERGENTE

Limita unei puteri se distribuie si bazei si exponentului:

Limita radicalului este egala cu radicalul limitei:

, ,

Limita logaritmului este egala cu logaritmul limitei: