Creeaza.com - informatii profesionale despre


Simplitatea lucrurilor complicate - Referate profesionale unice
Acasa » scoala » matematica
Sectiuni in tetraedru

Sectiuni in tetraedru


Sectiuni in tetraedru

O problema centrala a geometriei in spatiu admite urmatoarea formulare generala: Fiind dat un poliedru P si un plan a sa se determine sectiunea in P facuta de planul a .Modalitatea generala de rezolvare a problemelor de geometrie in spatiu consta in reducerea lor la probleme de geometrie plana prin considerarea unor sectiuni convenabile.

Problema determinarii sectiuni S a tetraedrului [ABCD] prin planul a subintelege urmatoarele trei chestiuni distincte, dar puternic corelate:

1) determinarea intersectiei S0 intre a si multimea: a muchiilor tetraedrului;

2) determinarea intersectiei S1 intre a si fetele [ABC]; [ABD]; [ACD]; [BCD] ale tetraedrului ;

3) determinarea multimii S2 de intersectie intre a si multimea Int[ABCD].

Pentru a uniformiza unele exprimari, convenim ca in cazul cand S0 doua varfuri X si Y ale lui[ABCD] sa consideram in S0 doar extremitatile X si Y si nu punctele MI[XY]. Analog, trei varfuri X, Y, Z sunt in a , in S1 nu se vor include punctele M din interiorul DXYZ.

Dupa cum se va constata treptat, una dintre ideile principale ce permit rezolvarea problemelor 1), 2) si 3)consta in determinarea multimii S0 de intersectie a lui a cu multimea muchiilor tetraedrului, deci a considerarii si a unor puncte remarcabile prin prelungirea sectiunii S.

Teorema 12

Oricare ar fi planul a si tetraedrul [ABCD]:

a) Sectiunea S0 contine cel mult patru puncte;

b) Sectiunea S1 poate fi multimea vida, un segment sau un poligon convex cu cel mult patru laturi;

c) Sectiunea S2 poate fi multimea vida sau interiorul poligonului convex S1.

Demonstratia: consta in exprimarea tuturor pozitiilor posibile ale varfurilor A, B, C, D fata de planul a

  1. Toate varfurile A, B, C, D sunt situate intr-un semiplan a delimitat de a. Evident S0= , urmeaza S1= S2 =


Toate varfurile, cu exceptia unuia (notat cu A), sunt in a , A fiind situat in a. Evident, S0=; S1=S2=


  1. Trei varfuri (notate B,C,D)sunt in a

iar al patrulea in celalalt semiplan, a . Evident,

exista in acest caz punctele MI[AB], NI[AC],

PI[AD] aflate in a si desigur, S0=

Planele a si (ABC) au in comun dreapta MN;

doar segmentul inchis[MN] este situat pe fata [ABC].

Se constata S1=DMNP si S2=IntDMNP.




  1. Doua varfuri A, B sunt in a , unul, C,

in a si unul, D, in a S0 contine punctul C

si punctele MI[AB], NI[BD]; S1= DCMN;

S2 = IntDCMN

  1. Doua varfuri A,B sunt in a doua in a

C si D. Se pun in evidenta urmatoarele puncte

Aflate in a: MI[AC]; NI[BC]; PI[BD];QI[DA]

S0=, S1 este patrulaterul MNPQ,

iar S2=Int[MNPQ]

  1. Doua varfuri sunt in a( notate A,B)

celelalte doua separate de a. Multimea

S0 in afara punctelor din [AB] si un punct

MI[CD]. S1=DABM, S2=IntDABM.

  1. Ultimul caz posibil: trei puncte sunt situate

in a. Daca aceste puncte sunt A,B,C, atunci:

S0=, S1=DABC;

S2=IntDABC


In cazul acestei teoreme se poate afirma ca problema determinarii sectiunii prin planul a in tetraedrul [ABCD] revine la determinarea sectiunii S0 alcatuita din cel mult patru puncte, folosind, eventual, si punctele auxiliare din S0 (numarul acestora neputand depasi sase).





Politica de confidentialitate


creeaza logo.com Copyright © 2024 - Toate drepturile rezervate.
Toate documentele au caracter informativ cu scop educational.