Sectiuni in tetraedru

Sectiuni in tetraedru

O problema centrala a geometriei in spatiu admite urmatoarea formulare generala: Fiind dat un poliedru P si un plan a sa se determine sectiunea in P facuta de planul a .Modalitatea generala de rezolvare a problemelor de geometrie in spatiu consta in reducerea lor la probleme de geometrie plana prin considerarea unor sectiuni convenabile.

Problema determinarii sectiuni S a tetraedrului [ABCD] prin planul a subintelege urmatoarele trei chestiuni distincte, dar puternic corelate:

1) determinarea intersectiei S₀ intre a si multimea: a muchiilor tetraedrului;

2) determinarea intersectiei S₁ intre a si fetele [ABC]; [ABD]; [ACD]; [BCD] ale tetraedrului ;

3) determinarea multimii S₂ de intersectie intre a si multimea Int[ABCD].

Pentru a uniformiza unele exprimari, convenim ca in cazul cand S₀ doua varfuri X si Y ale lui[ABCD] sa consideram in S₀ doar extremitatile X si Y si nu punctele MI[XY]. Analog, trei varfuri X, Y, Z sunt in a , in S₁ nu se vor include punctele M din interiorul DXYZ.

Dupa cum se va constata treptat, una dintre ideile principale ce permit rezolvarea problemelor 1), 2) si 3)consta in determinarea multimii S₀ de intersectie a lui a cu multimea muchiilor tetraedrului, deci a considerarii si a unor puncte remarcabile prin prelungirea sectiunii S.

Teorema 12

Oricare ar fi planul a si tetraedrul [ABCD]:

a) Sectiunea S₀ contine cel mult patru puncte;

b) Sectiunea S₁­ poate fi multimea vida, un segment sau un poligon convex cu cel mult patru laturi;

c) Sectiunea S₂ poate fi multimea vida sau interiorul poligonului convex S_1.

Demonstratia: consta in exprimarea tuturor pozitiilor posibile ale varfurilor A, B, C, D fata de planul a

1. Toate varfurile A, B, C, D sunt situate intr-un semiplan a delimitat de a. Evident S₀= , urmeaza S₁= S₂ =

Toate varfurile, cu exceptia unuia (notat cu A), sunt in a , A fiind situat in a. Evident, S₀₌; S₁=S₂=

3. Trei varfuri (notate B,C,D)sunt in a

iar al patrulea in celalalt semiplan, a . Evident,

exista in acest caz punctele MI[AB], NI[AC],

PI[AD] aflate in a si desigur, S₀=

Planele a si (ABC) au in comun dreapta MN;

doar segmentul inchis[MN] este situat pe fata [ABC].

Se constata S₁=DMNP si S₂=IntDMNP.

4. Doua varfuri A, B sunt in a , unul, C,

in a si unul, D, in a S₀ contine punctul C

si punctele MI[AB], NI[BD]; S₁= DCMN;

S₂ = IntDCMN

5. Doua varfuri A,B sunt in a doua in a

C si D. Se pun in evidenta urmatoarele puncte

Aflate in a: MI[AC]; NI[BC]; PI[BD];QI[DA]

S₀=, S₁ este patrulaterul MNPQ,

iar S₂=Int[MNPQ]

6. Doua varfuri sunt in a( notate A,B)

celelalte doua separate de a. Multimea

S₀ in afara punctelor din [AB] si un punct

MI[CD]. S₁=DABM, S₂=IntDABM.

7. Ultimul caz posibil: trei puncte sunt situate

in a. Daca aceste puncte sunt A,B,C, atunci:

S₀=, S₁=DABC;

S₂=IntDABC

In cazul acestei teoreme se poate afirma ca problema determinarii sectiunii prin planul a in tetraedrul [ABCD] revine la determinarea sectiunii S₀ alcatuita din cel mult patru puncte, folosind, eventual, si punctele auxiliare din S₀ (numarul acestora neputand depasi sase).