Transformari de coordonate - Transformarea conforma

Transformari de coordonate Transformarea conforma

1. Generalitati

Transformarea unor puncte dintr-un sistem de coordonate in alt sistem de coordonate este o problema comuna atat pentru procesul de masurare cat si pentru proiectare.

In geodezie in cazul masuratorilor realizate cu tehnologie GPS cat si in domeniul fotogrammetriei transformarile de coordonate se executa frecvent.

Au fost dezvoltate multe modele matematice pentru a face aceste conversii dar toate au la baza transformarile de coordonate.

In lucrarea de fata vom studia transformarea conforma cu patru parametrii, cunoscuta si sub denumirea de transformarea Helmert.

1.1. Transformarea conforma

1.1.1. Forma generala a transformarii conforme

Transformarea conforma este o transformare de coordonate tipica, folosita des in geodezie, avand patru parametrii independenti:

Un factor de scara, m

O rotatie plana, f

Doua translatii, pe cele doua axe: T_x si T_y.

Daca consideram un sistem de coordonate "local" si un sistem de coordonate "istoric" ("national") si un numar de puncte cu coordonate in ambele sisteme, atunci aceste puncte se numesc puncte comune. Pe baza acestor puncte comune se vor determina parametrii si relatiile de transformare a coordonatelor dintr-un sistem in altul.

Se pune problema sa se determine parametrii de transformare intre cele doua sisteme. Pozitia punctului P in sistemul local xOy o obtinem printr-o transformare de forma:

Relatia de mai sus reprezinta legatura dintre axele celor doua sisteme de coordonate. Vom inmulti relatia de mai sus cu inversul matricii de rotatie. Va rezulta:

Relatia (3) reprezinta dependenta dintre cele doua sisteme de coordonate. Relatia (3) mai poate fi scrisa:

Tinand cont de factorul de scara si de cele doua translatii, relatia (4) devine:

Daca se tine cont de urmatoarele notatii:

Vom avea:

Relatia (7) reprezinta forma generala a transformarii conforme. In continuare vor fi prezentate doua modele de determinare a parametrilor transformarii conforme: Modelul Gauss-Markov, sau modelul masuratorilor indirecte, si Modelul Gauss-Helmert, sau Cazul general de compensare.