Creeaza.com - informatii profesionale despre


Evidentiem nevoile sociale din educatie - Referate profesionale unice



Acasa » referate » matematica
Ultima cifra a unui numar natural

Ultima cifra a unui numar natural



ULTIMA CIFRA A UNUI NUMAR NATURAL

SESIUNEA DE REFERATE ALE ELEVILOR

ULTIMA CIFRA A UNUI NUMAR NATURAL

Fie x un numar natural oarecare si notam cu U(x) ultima sa cifra. Daca x = 294 atunci, U(294) = 4.

Ultima cifra a unui numar natural se determina cu ajutorul urmatoarelor reguli:

  1. Ultima cifra a unei sume de numere naturale este egala cu ultima cifra a sumei ultimelor cifre a termenilor sumei:

U(x + y – z) = U[U(x) + U(y) – U(z)]



Exemplu. Sa se determine ultima cifra a numerelor a = 917 + 7905 si b = 9102 + 388140 – 100509, fara a efectua sumele:

U(a) = U[U(917) + U(7905)] = U(7 + 5) = U(12) = 2.

U(b) = U[U(9102) + U(388140) – U(100509)] = U(2 + 0 – 9) = 3.

  1. Ultima cifra a unui produs de numere naturale este egala cu ultima cifra a produsului ultimelor cifre a factorilor produsului:

U(x y) = U[U(x) U(y)]

Exemplu. Sa se determine ultima cifra a produsului p = 914 137, fara a efectua produsul.

U(p) = U(914 137) = U[U(914) U(137)] = U(4 7) = U(28) = 8.

  1. Ultima cifra a unei puteri este egala cu ultima cifra a puterii ultimei cifre a bazei:

U(xn) = U U(x))n

Exemplu. Sa se determine ultima cifra a numarului m = 7125.

U(m) = U(7125) = U (U(712))5 = U(25) = U(32) = 2.

In continuare se va determina ultima cifra a puterilor lui p, unde p I

  1. 0n = 0, oricare ar fi n I N*. Deci:

U() = U(0n) = 0, n I N*

  1. 1n = 1, oricare ar fi n I N. Deci:

2n

U(2n)

U() = U(1n) = 1, n I N

3n

U(3n)

4.

4n

U(4n)

5.

5n

U(5n)

6.

6n



U(6n)

7.

7n

U(7n)

8.

8n

U(8n)

9.

9n

U(9n)

10.

Din aceste tabele se observa ca:

a)     Numerele naturale care au ultima cifra 0, 1, 5 sau 6 ridicate la orice putere n, n I N*, au ultima cifra tot 0, 1, 5 respectiv 6:

U() = U(0n) = 0

U() = U(1n) = 1

U() = U(5n) = 5

U() = U(6n) = 6

b) Ultima cifra a puterilor lui 4 si 9 este 4 respectiv 9 daca exponentul n, n I N*, este

impar. Daca si sunt numere naturale care au ultima cifra 4 si respectiv 9 iar n este un numar natural impar de forma n = 2k+1, k I N, atunci:

U() = U(2k+1) = U(42k+1) = U(4 42k) = U[4 (42)k] = U[4 (16)k] = U[4 U(16)k] = U[4 U(6k)] = U(4 6) = U(24) = 4.

U() = U(2k+1) = U(92k+1) = U(9 92k) = U[9 (92)k] = U[9 (81)k] = U[9 U(81)k] = U[9 U(1k)] = U(9

c) Ultima cifra a puterilor lui 4 si 9 este 6 respectiv 1 daca exponentul n, n I N*, este par.

Daca si sunt numere natural care au ultima cifra 4 si respectiv 9 iar n este un numar natural par de forma n = 2k, k I N*, atunci:

U() = U() = U(42k) = U[(42)k] = U(16k) = U(6k) = 6.

U() = U(2k) = U(92k) = U[(92)k] = U(81k) = U(1k) = 1.

d) Ultimele cifre a puterilor lui 2, 3, 7 si 8 se repeta din patru in patru, in functie de

resturile impartirii exponentului puterii la 4. Intr-adevar, daca , , si sunt numere naturale care au ultima cifra 2, 3, 7 si respectiv 8 atunci:


U(4k) = U(24k) = U[(24)k] = U(16k) = U(6k) = 6 adica, U(4k) = U(24k) = U(24) =

= U(16) = 6, k I N*.

U(4k+1) = U(24k+1) = U[2 (24)k] = U[2 U(16)k] = U[2 U(6k)] = U(2 6) = U12) = 2 adica, U(4k+1) = U(24k+1) = U(21) = 2, k I N*.

U(4k+2) = U(24k+2) = U[22 (24)k] = U[4 U(16k)] = U[4 U(6k)] = U(4 6) = U(24) = 4 adica, U(4k+2) = U(24k+2) = U(22) = 4, k I N*.

U(4k+3) = U(24k+3) = U[23 (24)k] = U[8 U(16k)] = U[8 U(6k)] = U(8 6) = U(48) = 8 adica, U(4k+3) = U(24k+3) = U(23) = 8, k I N*.

In mod analog se calculeaza, pentru k I N*:

U(4k) = U(34k) = U(34) = U(81) = 1.

U(4k+1) = U(34k+1) = U(31) = 3.

U(4k+2) = U(34k+2) = U(32) = 9.

U(4k+3) = U(34k+3) = U(33) = U(27) = 7.

U(4k) = U(74k) = U(74) = U(2401) = 1.

U(4k+1) = U(74k+1) = U(71) = 7.

U(4k+2) = U(74k+2) = U(72) = U(49) = 9.

U(4k+3) = U(74k+3) = U(73) = U(343) = 3.

U(4k) = U(84k) = U(84) = U(4096) = 6.

U(4k+1) = U(84k+1) = U(81) = 8.

U(4k+2) = U(84k+2) = U(82) = U(64) = 4.

U(4k+3) = U(84k+3) = U(83) = U(512) = 2.

Patrate perfecte. Puterea a doua a unui numar natural n se mai numeste patratul

numarului n si se noteaza n2

Daca numarul natural a este patratul unui numar natural n, adica a = n2, atunci numarul a este un patrat perfect. Se va determina ultima cifra a unui patrat perfect tinand cont ca U() = U(x2), unde x I

x

x2

U(x2)

Din acest tabel se poate trage urmatoarea concluzie:

Ultima cifra a unui patrat perfect poate fi una dintre cifrele: 0, 1, 4, 5, 6 sau 9.

Deci, U(n2) = p, unde p I . De aici rezulta un procedeu de a demonstra ca un numar natural nu este patrat perfect.

Daca ultima cifra a unui numar natural este 2, 3, 7 sau 8 atunci, numarul nu poate fi patrat perfect.

Daca U(m) = q si q I atunci, m nu este patrat perfect (adica el nu poate fi scris sub forma b = n2).

Exemple.

Sa se arate ca numarul A = 20011 + 20022 + . . .  +20099 nu poate fi patrat perfect.

Vom calcula ultima cifra a numarului A. Mai intai se va calcula ultima cifra a termenilor sumei: U(20011) = U(11) = 1; U(20022) = U(22) = 4; U(20033) = U(33) = 7; U(20044) = U(44) = 6; U(20055) = U(55) = 5; U(20066) = U(66) = 6; U(20077) = U(77) = 3; U(20088) = U(88) = 6; U(20099) = U(99) = 9. Ultima cifra a numarului A = U(1 + 4 + 7 + 6 + 5 + 6 + 3 + 6 + 9) =

U(47) = 7. Daca ultima cifra a numarului A este 7 atunci, A nu poate fi un patrat perfect (deoarece un patrat perfect nu poate avea ultima cifra 7).

Sa se arate ca numarul a = 999888 – 333444 este un numar divizibil cu 5.

Se calculeaza ultima cifra a numarului a. Vom calcula mai intai ultima cifra a fiecarui termen al sumei: U(999888) = U(9888) = 1 (deoarece exponentul este numar par) si U(333444) = U(3444) = U(34 ) = 1. Deci U(a) = U(1 - 1) = 0 si atunci a 5 (deoarece are ultima cifra zero).

Sa se arate ca numerele m = 6n + 5n – 1 si n = 6n – 5n – 1 sunt numere divizibile cu 10 oricare ar fi numarul natural n

Se calculeaza ultima cifra a numerelor m si n tinand cont ca U(6n) = 6 si U(5n) = 5, oricare ar fi n 1. Deci U(m) = U(6n + 5n – 1) = U(6 + 5 – 1) = U(10) = 0 si U(n) = U(6n – 5n – 1) = U(6 – 5 – 1) = 0. Numerele m si n avand ultima cifra zero, numerele sunt divizibile cu 10.

In tabelul urmator se calculeaza ultima cifra a puterii a patra a unui numar natural.

x

x2

x4

U(x4)

Din acest tabel rezulta urmatoarele:

Numerele care au ultima cifra 1, 3, 7, 9 (cifrele impare cu exceptia lui 5), la puterea a patra au ultima cifra 1. Se poate scrie:

U() = U() = U() = U() = 1

Numerele care au ultima cifra 2, 4, 6, 8 (cifrele pare nenule), la puterea a patra au ultima cifra 6. Se poate scrie:

U() = U() = U() = U() = 6

Numerele naturale care au ultima cifra 0, 1, 5 sau 6, la puterea a patra au ultima cifra 0, 1, 5 respectiv 6 (potrivit celor aratate mai sus). Se poate scrie:

U() = 0; U() = 1; U() = 5; U() = 6.

Exemple.

Un numar natural par ridicat la puterea a patra incepe si se termina cu aceeasi cifra. Care este aceasta cifra?

Din tabelul de mai sus se observa ca numerele naturale pare, ridicate la puterea a patra, au ultima cifra 0 sau 6. Dar un numar natural nu poate incepe cu cifra 0 si atunci singura cifra cu care poate sa inceapa si sa se termine puterea a patra a unui numar natural par este cifra 6.

Daca cifrele cu care se termina fiecare din numerele a4n, b4n, c4n, d4n sunt toate diferite intre ele (a, b, c, d, n I N*), sa se afle care este ultima cifra a numarului A = a4n + b4n + c4n + d4n.

Puterea a patra a fiecaruia dintre numerele a, b, c si d are ultima cifra 0, 1, 5 sau 6. Cum cifrele cu care se termina puterile a4n, b4n, c4n, d4n sunt toate diferite intre ele, atunci aceste cifre nu pot fi decat 0, 1, 5, 6 si atunci U(A) = U(0 + 1 + 5 + 6) = U(12 ) = 2.

Sa se arate ca daca n este un numar natural care nu este divizibil cu 5 atunci, numarul n4 + 2 nu este patrat perfect.

Daca n este un numar natural care nu este divizibil cu 5 atunci, ultima cifra a lui n nu poate fi 0 si nici 5. Rezulta atunci ca U(n4) nu poate fi decat 1 sau 6 si atunci U(n4 + 2) = U(1 + 2) = 3 sau U(n4 + 2) = U(6 + 2) = 8 ceea ce inseamna ca n4 + 2 nu poate fi patrat perfect (deoarece are ultima cifra 3 sau 8 iar un patrat perfect nu are ultima cifra nici 3 si nici 8).

Sa se determine cu ce cifra se poate termina numarul 7 n4 – 16, n > 1, n I N.

Se analizeaza ultima cifra a numarului n.

Daca U(n) = 0 atunci, U(n4) = 0 si atunci U(7 n4 – 16) = U(7 0 – 16) = U(0 – 16) = 4;

Daca U(n) este 1, 3, 7 sau 9 atunci, U(n4) = 1 si atunci U(7 n4 – 16) = U(7 1 – 16) = U(7 – 16) = 1;

Daca U(n) este 2, 4, 6 sau 8 atunci, U(n4) = 6 si atunci U(7 n4 – 16) = U(7 6 – 16) = U(42 – 16) = 6;

Daca U(n) = 5 atunci, U(n4) = 5 si atunci U(7 n4 – 16) = U(7 5 – 16) = U(35 – 16) = 9.

In concluzie, numarul 7 n4 – 16, n > 1, n I N,  se poate termina cu una dintre cifrele: 4, 1, 6, 9.





loading...




Politica de confidentialitate

.com Copyright © 2020 - Toate drepturile rezervate.
Toate documentele au caracter informativ cu scop educational.


Proiecte

vezi toate proiectele
 SCHITA DE PROIECT DIDACTIC GEOGRAFIE CLASA: a IX-a - Unitatile majore ale reliefului terestru
 PROIECT DIDACTIC 5-7 ani Educatia limbajului - Cate cuvinte am spus?
 Proiect atestat Tehnician Electronist - AMPLIFICATOARE ELECTRONICE
 Proiect - masurarea si controlul marimilor geometrice

Lucrari de diploma

vezi toate lucrarile de diploma
 Lucrare de diploma - eritrodermia psoriazica
 ACTIUNEA DIPLOMATICA A ROMANIEI LA CONFERINTA DE PACE DE LA PARIS (1946-1947)
 LUCRARE DE DIPLOMA MANAGEMENT - MANAGEMENTUL CALITATII APLICAT IN DOMENIUL FABRICARII BERII. STUDIU DE CAZ - FABRICA DE BERE SEBES
 Lucrare de diploma tehnologia confectiilor din piele si inlocuitor - proiectarea constructiv tehnologica a unui produs de incaltaminte tip cizma scurt

Lucrari licenta

vezi toate lucrarile de licenta
 LUCRARE DE LICENTA CONTABILITATE - ANALIZA EFICIENTEI ECONOMICE – CAI DE CRESTERE LA S.C. CONSTRUCTIA S.A TG-JIU
 Lucrare de licenta sport - Jocul de volei
 Lucrare de licenta stiintele naturii siecologie - 'surse de poluare a clisurii dunarii”
 LUCRARE DE LICENTA - Gestiunea stocurilor de materii prime si materiale

Lucrari doctorat

vezi toate lucrarile de doctorat
 Diagnosticul ecografic in unele afectiuni gastroduodenale si hepatobiliare la animalele de companie - TEZA DE DOCTORAT
 Doctorat - Modele dinamice de simulare ale accidentelor rutiere produse intre autovehicul si pieton
 LUCRARE DE DOCTORAT ZOOTEHNIE - AMELIORARE - Estimarea valorii economice a caracterelor din obiectivul ameliorarii intr-o linie materna de porcine

Proiecte de atestat

vezi toate proiectele de atestat
 PROIECT ATESTAT MATEMATICA-INFORMATICA - CALUTUL INTELIGENT
 Proiect atestat Tehnician Electronist - AMPLIFICATOARE ELECTRONICE
 ATESTAT PROFESIONAL LA INFORMATICA - programare FoxPro for Windows
 ATESTAT PROFESIONAL TURISM SI ALIMENTATIE PUBLICA, TEHNICIAN IN TURISM




Speranta matematica a unei variabile aleatoare discrete
Siruri
Proiect de activitate - numaratul in limitele 0 – 5
TRANSFORMARI LINIARE
Analiza sintactica
Modele cu ecuatii simultane
Marimile medii matematice
Valoarea medie a sumei




Termeni si conditii
Contact
Creeaza si tu