MODELUL GAUSS – HELMERT - Modelul functional, Modelul stochastic, Estimarea preciziilor

Modelul Gauss – Helmert

Modelul functional

In acest caz ambele seturi de coordonate sunt considerate ca fiind „observatii” si afectate de erori. In cazul general de compensare dependenta functionala e data de relatia:

Functia de mai sus este o functie de marimi masurate l_i si parametrii necunoscuti x_i. Daca se tine cont de consideratiile de mai sus, si pastrand aceeasi parametrii necunoscuti, ca la modelul masuratorilor indirecte, relatiile (21) vor avea urmatoarea forma:

In relatia (22) atat coordonatele punctelor in sistemul „local”, cat si cele in sistemul „istoric” sunt considerate ca fiind „masuratori”, afectate de erori, deci vor primii corectii. Tinand cont de acestea, relatiile (22) vor avea urmatoarea forma:

Relatiile de mai sus nu sunt liniare. Vom liniariza in jurul valorilor aproximative ale parametrilor dezvoltand in serie Taylor. Pentru studiul de caz, pentru valorile aproximative, se vor folosi valorile parametrilor determinati in cazul modelului Gauss-Markov. Parametri vor fi de forma:

Rezolvarea se va face matriceal, dupa modelul prezentat in relatiile de mai jos:

Unde A – matricea cofactorilor masuratorilor, v – vectorul corectiilor, B – matricea cofactorilor necunoscutelor,  – vectorul necunoscutelor, w– vectorul neinchiderilor. Prin dezvoltarea in serie Taylor, vom avea:

Rezolvand derivatele:

Matricea A pentru toate punctele are urmatoarea forma:

Matricea B, prin aplicarea dezvoltarii in serie Taylor va avea urmatoarea forma:

Sau efectuand calculele:

Generalizand, matricea B are urmatoarea forma:

Daca vom nota neinchiderile cu:

Vectorul w, va fi de forma:

Modelul stochastic

Se cunosc preciziile coordonatelor din sistemul „local”. Daca nu avem informatii despre preciziile coordonatelor in sistemul „istoric” acestea vor fi estimate pe baza rezultatelor obtinute in compensarea anterioara (modelul Gauss-Markov). Pentru determinarea matricii ponderilor se vor folosi preciziile cunoscute de la compensarea precedenta. Astfel vom avea:

Matricea ponderilor se va calcula cu relatia:

Compensarea se efectueaza sub conditia (25).

Algoritmul compensarii este urmatorul:

In Δ se gasesc corectii pentru valorile aproximative ale parametrilor. Valorile cele mai probabile ale parametrilor se obtin cu relatiile (24).

Corectiile obtinute se aplica valorilor „masurate”, cu ajutorul relatiilor de mai jos:

Pentru control se vor inlocui valorile cele mai probabile in relatiile (22) care trebuie sa fie satisfacute in limita preciziei de calcul.

Estimarea preciziilor

Pentru determinarea abaterii standard de selectie a unei masuratori se va folosi relatia (41), iar pentru determinarea preciziei de determinare a parametrilor necunoscuti se vor folosi relatiile (42):

Pentru estimarea preciziilor coordonatelor punctelor comune se va calcula matricea cofactorilor masuratorilor compensate:

Unde:

Coordonatele punctelor necomune in sistemul „istoric” se determina cu relatiile (7).

Pentru estimarea preciziilor coordonatelor punctelor necomune, din relatiile (7) putem spune ca:

Sau scris matriceal relatiile (45) devin:

Deci:

Unde f₁,  f₂, D(x) si D(l) au forma de mai jos, pentru fiecare punct necomun: